一、知己知彼

例1 分解因式：x2+5x+6

出题老师早已心里有数：

解题的时候可能需要花点心思，关键是怎么求出2和3这两个数

这里就不得不提到因式分解和整式乘法的关系：互为逆变形

小学我们就学过列竖式来进行乘法计算

其实初中的整式乘法也可以采取类似的方法进行计算

从所列竖式中，我们不难发现，2×3=6,2+3=5（2x+3x=5x）

因此，我们就可把6分解因数，得到2与3，当然6还有其他的分解，比如6=1×6或6=-2×（-3），但是其中只有2与3的和为5，所以结果只能是（1）式

此处再做一个说明，为什么要分解6，而不是去拆解5呢？

因式分解题目结果中的系数，大多是整数，那么6的分解情况就很少了，而和为5的情况太多了，由此可见去分解6是最简单的做法

于是，我们得到了分解这类二次三项式的方法：

先把常数6分解成两个因数的积（整数），再看一看这两个因数的和是不是等于一次项的系数。如果等于，分解结束；如果不等于继续尝试。

当然熟练掌握后，采取下面的算式，非常方便（其实就是把列竖式的过程反过来）

例2 分解因式x2-7x+6

所以x2-7x+6=（x-1）（x-6）

再简单总结一下小的技巧：

这里6的分解，可以考虑一次项系数-7，只能为负×负，且只能为-1×（-6）

例3 分解因式：x2-x-6

二、更进一步

前面研究了二次项系数为1的二次三项式，一般的二次三项式也可利用十字相乘来分解

例4 分解因式：6x2-7x+2

采取类似的方法：把6分解成2×3，写在第一列；把2分解成-1×（-2），写在第二列，然后交叉相乘进行验证，如果不行，继续尝试。

注：第一行表示2x-1，第二行表示3x-2

即6x2-7x+2=(2x-1)(3x-2)

例5 分解因式：12x2-11x-15

12和-15都有很多种分解，可能需要一定的尝试，最终结果如下：

即12x2-11x-15=（4x-3）（3x-5）

三、二次齐次也可分

多项式中的每一项都是二次式，这样的多项式称之为二次齐次式

例6 分解因式：x2-25xy+144y2

注：第一行表示x-16y，第二行表示x-9y

即x2-25xy+144y2=（x-16y）（x-9y）

例7 分解因式：12x2-xy-6y2

即12x2-xy-6y2=（3x+2y）（4x-3y）

四、特殊情况

二次三项式系数和为0

如果掌握这个结论，下面这些题目就可以直接得出答案

五、写在最后的话

十字相乘法是解决二次三项式因式分解最简单最有效的方法，它不是很难，但是，想要做的快又准，还得需要多加练习，很多东西是只可意会不能言传的。